050809 ecuaciones diferenciales de las estrellas

Los parametros de las estrellas son masa, temperatura y gravedad superficial relacionada con el tamaño.

Se habla de un equilibrio hidrostatico cuando una estrella no se expande ni se contrae, es decir, que se encuentra en un estado de estabilidad en cuanto a sus dimenciones. Tal condición implica que a cualquier distanciadel centro de la estrella el peso de las capas superiores debe de estar balanceado por la preción que ejerce el gas caliente que se genera en als capas proximas de del nucleo de la estrella, es decir, existe un equilibrio entre la fuerza de la gravedad y la presión del gas en cada capa de la estructura interna de la estrella, en otras palabras en cada capa de la estrella la gravedad es balanceada por la presión generada en el interior.


En este caso asumiremos que tratamos con una simetria esferica.
Sobre cada elemento de volumen en el fluido estelar, la fuerza que actua debe ser nula, si se quiere que la estrella este en equilibrio. esta fuerza se debe a la atracción gravitatoria y a la presión.
Tomando como elento de volumen un cilindro elemental a una distancia r del centro con base de área ΔA y altura Δr, las fuerzas que actuan sobre el son:
(i) Fuerza de gravedad: Fg=-GmΔm/r^2
Donde G es la constante de gravitación, Δm la masa del elemento de fluido.
Determinemos a Δm; se sabe que m=ρv, donde ρ es densidad y v es volumen y el volumen es igual a ΔA* Δr sutiyuyendo:
Fg=-Gm ΔA Δrρ/r^2
(ii) Fuerza neta de la presión: F= PA

Si la presión de la superficie interna es P y de la superficie superior es P+ ΔP, la fuerza neta de la presión que actua sobre el elemento de volumen es:
Fg= - ΔA*[( P+ ΔP)-P]
Fg= - ΔA* ΔP
La condición de equilibrio es que la fuerza total que actua sobre el elemento de volumenes igual a cero, por lo que debemos debemos sumar las fuerzas e igualarlas a cero:

- ΔA *ΔP -G*m* ΔA* Δr*ρ/r^2 = 0 (diviendo entre ΔA nos da como resultado)
-ΔP - G*m*Δr*ρ/r^2= 0 (pasando a -ΔP del otro lado de la igualdad e invirtiendo
el orden, obtenemos)
ΔP= -G*m*Δr*ρ/r^2 (dividiendo ambos miembros de la igualdad entre Δr obtenemos)

ΔP/Δr= -G*m ρ/r^2

Sí se toma el límite cuando Δr tiende a cero, la ecuación anterior se convierte en:

dP/dr=-Gmρ/r^2 , lo que nos indica el cambio de P respecto a r.